Contraste de Wilcoxon para muestras apareadas

El contraste de Wilcoxon es la técnica no paramétrica paralela a el de la T de Student para muestras apareadas . Igualmente dispondríamos de n parejas de valores (x_i,y_i) que podemos considerar como una variable medida en cada sujeto en dos momentos diferentes.

  Para todo i = 1,2,....,n,        i-ésima oservación = (Xi,Yi)----> diferencia = Di =Xi - Yi

El test de Wilcoxon, al igual que los otros contrastes no paramétricos puede realizarse siempre que lo sea su homólogo paramétrico, con el inconveniente de que este último detecta diferencias significativas en un 95% de casos que el de la T de Student.
Sin embargo a veces las hipótesis necesarias para el test paramétrico (normalidad de las diferencias apareadas, d_i) no se verifican y es estrictamente necesario realizar el contraste que presentamos aquí. Un caso muy claro de no normalidad es cuando los datos pertenecen a una escala ordinal.
El procedimiento consiste en:

1.

Ordenar las cantidades ! Di ! de menor a mayor y obtener sus rangos.

2.

Consideramos las diferencias d_i cuyo signo (positivo o negativo) tiene menor frecuencia (no consideramos las cantidades d_i=0) y calculamos su suma,                                                                             T   sera:  Si Di >0             si los signos positivos de Di son menos frecuentes                                                                                                                                                                                                         Si  Di< 0              si los signos negativos de Di son menos frecuentes

Del mismo modo es necesario calcular la cantidad T', suma de los rangos de las observaciones con signo de d_i de mayor frecuencia, pero si hemos ya calculado T, la siguiente expresión de T' es más sencilla de usar   T = m(n + 1) -T

donde m es el número de rangos con signo de d_i de menor frecuencia.

3.

Si T ó T' es menor o igual que las cantidades que aparecen en la tabla de Wilcoxon, se rechaza la hipótesis nula del contraste                                                                           

     H0 : No hay diferencia entre observaciones apareadas                                                                                                                                                                                                                       H1: Si la Hay

 Aproximación normal en el contraste de Wilcoxon

Si n>= 100 la distribución de T admite una aproximación normal

                                                        T = N(ut,st)

donde 

la Esperanza matemática es:     ut = n(n+1)/4

La Varianza  es                         st =n(n+1)(2n+1)/24

por lo que el estadístico 

Z = T -ut/(st)^1/2      la cual es una aproximación a la Normal (0,1)

da como criterio el rechazar       H0   si  |Z| >= 1- alfa/2