El Poder de la Tecnología en los Modelos Cuantitativos Lineales y Complejos

Paradojas Probabilística

Probablemente quizás: variación de helado

Escrito por Christoforos Anagnostopoulos y Spiros Doxiadis en 20 marzo 2019. Publicado en Science

. El dicho dice que "las probabilidades son contra-intuitivas". Puede parecer que un problema simple tiene una respuesta directa a primera vista, pero solo luego aprendemos, mediante una explicación cuidadosa, que nuestra intuición ha sido subvertida. De hecho, rara vez se puede confiar en la intuición humana cuando se trata de hacer juicios probabilísticos, especialmente bajo la presión del tiempo. Incluso aquellos capacitados en estadística, como la mayoría de los lectores de Significance , pueden ser víctimas de sesgos cognitivos al tomar decisiones rápidas.

Pero las probabilidades no solo se manifiestan como paradojas. A veces podemos estar intuitivamente en lo cierto sobre un problema que se nos presenta, aunque sea por razones equivocadas o por razones que son difíciles de comprender. Y a veces nos enfrentamos a problemas probabilísticos por los cuales la intuición nos abandona por completo.

Por lo tanto, esta columna se propone ponerlo a usted, el lector, a prueba. Cada vez que presentamos una pregunta para desafiar su instinto probabilístico, junto con la respuesta y algunos comentarios y explicaciones.

Entonces, para comenzar:

El problema
En el pueblo de Chedrok, hay dos vendedores de helados, Dimitrius y Zaza. Dimitrius es un gran trabajador. Él instala su mostrador todos los días temprano en la tarde y no se detiene hasta la mañana siguiente. Atiende a unos 220 clientes por día. Zaza es más relajado. Trabaja solo unas pocas horas por la tarde y rara vez por la noche. Atiende a unos 45 clientes por día.

El abastecimiento de helados es difícil en esta área, por lo que solo venden una cucharada a cada cliente y ambos se conformaron con solo dos sabores, el jengibre y la frambuesa, que son los favoritos de los locales. En general, alrededor del 50% de los clientes eligen la frambuesa. Sin embargo, el porcentaje exacto varía de un día a otro. A veces es superior al 50%, a veces inferior.

Dimitrius y Zaza han tenido una pequeña apuesta entre ellos. Durante un período de tres meses, cada uno registró los días en que más del 60% de sus clientes eligieron el jengibre. Llamaremos a ese día un "día de jengibre".

¿Quién crees que grabó más días de jengibre?

(a) Dimitrius

(b) Zaza

(c) Aproximadamente lo mismo (dentro del 5% del total de cada vendedor)

Lea la descripción nuevamente y tómese un minuto para decidir una respuesta.

La solución

Es habitual que los encuestados salten a (c): cualquier discrepancia entre el número de días de jengibre para Zaza y Dimitrius debería ser pequeña; después de todo, ambos vendedores atienden a la misma audiencia con la misma distribución de gustos. Por lo tanto, cualquier diferencia debe limitarse a pequeñas fluctuaciones aleatorias. Fácil.

Excepto que no es tan fácil. Para ayudar a guiar su intuición, hagamos la pregunta un poco más extrema. Imagine que Dimitrius era en realidad un conglomerado de helados, que atiende a un sorprendente millón de clientes por día. Sería bastante contradictorio para Dimitrius ver que más del 60% de sus clientes eligen jengibre en un día determinado, dada una distribución de sabor igual. Dicho de otro modo, si observara tal eventualidad, probablemente concluiría que la distribución del sabor había cambiado, dada la improbabilidad de la alternativa. Contraste con Zaza, cuyo negocio, en este escenario imaginario, está en tal desorden que solo atiende a cuatro clientes por día. Parece claro que la variación aleatoria tendría un fuerte efecto aquí, y los días de jengibre (y los días de frambuesa también) aparecerían con suficiente frecuencia.

Entonces, menos clientes significa más variabilidad. Más variabilidad significa una mayor probabilidad de que cualquier día dado sea un día de jengibre. Una mayor posibilidad de días de jengibre significa más días de jengibre en cualquier período de tiempo. Entonces, deberías apostar en (b) Zaza.

De hecho, el fenómeno subyacente es ampliamente conocido: a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la frecuencia observada de un evento se aproxima a su media real. Las desviaciones de la media son, por lo tanto, mucho más probables para tamaños de muestra pequeños. Pero, incluso si está entre los que eligieron correctamente, aún podría sorprenderse por la velocidad de esta convergencia. En la pregunta original anterior, se espera que aproximadamente 1 de cada 9 días sea un día de jengibre para Zaza, enfrentado a un raro 1 de cada 550 días para Dimitrius. No solo es (b) más probable, es extraordinariamente más probable.

Ahora, imaginemos que le ofrecemos una apuesta: le pagaremos £ 100 si Zaza tiene más días de jengibre en tres meses que Dimitrius, pero debe pagarnos £ 100,000 si no. ¿Tomarías esa apuesta? Es probable que pierda mucho por muy poca ganancia, pero la probabilidad de que gane es 0.9999417. Incluso con la tolerancia del 5% dada en la pregunta, es casi seguro que Zaza tendrá más días de jengibre que Dimitrius. La razón de estas asombrosas probabilidades es que, una vez más, la ley de los grandes números entra en vigencia y la mayor probabilidad de un día de jengibre para los compuestos de Zaza durante más de 90 días, lo que obliga al número promedio de días de jengibre a acercarse a sus valores teóricos esperados: aproximadamente 10 para Zaza, y efectivamente 0 para Dimitrius. Deberías haber tomado esa apuesta.

Hay un nombre en la literatura para este sesgo cognitivo particular: "insensibilidad al tamaño de la muestra" . Lo que es bastante sorprendente, pero también tranquilizador, es que la mayoría de las personas dudarán fácilmente de la precisión de una estadística basada en un tamaño de muestra muy pequeño y, en el extremo, podrían descartarla por completo como anecdótica si se basa solo en uno o dos ejemplos. . Sin embargo, la mayoría de la gente todavía se equivoca con la apuesta de Zaza-Dimitrius: esperan que dos promedios provenientes de muestras de diferentes tamaños de la misma población varíen mucho menos de lo que lo hacen en realidad.

Pero la incertidumbre es variación. Dos lados de la misma moneda.

Hasta la próxima.

Estadísticas en la corte: probabilidades incorrectas !!

Aunque tanto la ley como la teoría estadística tienen fundamentos que se basan en reglas y principios formales, los tribunales pueden aplicar incorrectamente pruebas y argumentos estadísticos. En algunos casos, incluso cuando se llega a una decisión correcta, los tribunales pueden aceptar o dar una explicación que sea inexacta y falsa. En otros casos, el mal uso de las estadísticas ha dado lugar a condenas falsas y años de prisión por delitos no cometidos por el acusado.

La probabilidad plantea un desafío particular para los tribunales. En algunos casos, se han presentado probabilidades incorrectas a los jurados porque se ha utilizado la regla de multiplicación simple, a pesar de que los eventos probablemente no fueron estadísticamente independientes.

La regla de multiplicación para eventos independientes establece que si dos eventos, A y B, son independientes, entonces la probabilidad de que ocurran A y B es la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad de B. En notación matemática: P (A y B) = P (A) x P (B). Pero si los eventos no son independientes y se aplica la regla de multiplicación, los resultados pueden ser peligrosamente engañosos, como lo mostrará este artículo.

Nuestro primer ejemplo es de un caso civil que se supone es la primera vez que se presenta evidencia estadística en un tribunal de los Estados Unidos. A continuación, se discutirán cuatro casos penales en los que testigos expertos de la fiscalía utilizaron indebidamente la regla del producto y presentaron probabilidades incorrectas al jurado. En dos de estos casos, un tribunal de apelaciones luego revocó la condena. En los otros dos casos, los acusados ​​colectivamente pasaron 24 años en la cárcel hasta que fueron exonerados por evidencia de ADN.

El Howland falsificará juicio

En 1868, la voluntad de Sylvia Ann Howland fue objeto de una batalla legal. Había dejado aproximadamente la mitad de su fortuna a su sobrina, Henrietta Howland Robinson. Sin embargo, Robinson afirmó que un testamento diferente le dejó todo el patrimonio. El abogado del patrimonio argumentó que la firma en el testamento que Robinson prefería era una falsificación, por lo que el abogado de Robinson le pidió a Oliver Wendell Holmes, Sr., profesor de anatomía y fisiología en Harvard, que testificara sobre la autenticidad de la firma. Examinó la firma bajo un microscopio y no encontró evidencia de falsificación.

El abogado de la finca llamó a Benjamin Peirce, profesor de matemáticas en Harvard, para testificar. Peirce utilizó técnicas estadísticas para decidir si la firma era "demasiado similar" a otra firma conocida de Sylvia Howland. Llegó a la conclusión de que "la probabilidad de encontrar 30 coincidencias de carrera descendente en un par de firmas fue una vez en 2,666 millones de millones de millones".

Perfore las probabilidades asignadas para cada una de las 30 similitudes y luego multiplique para llegar a la probabilidad final, extremadamente pequeña. Sin embargo, en un artículo de 1980, Paul Meier y Sandy Zabel hicieron una excepción a este cálculo.1 Discuten el "uso y abuso de la regla del producto para multiplicar las probabilidades de eventos independientes". Argumentan que los 30 eventos / similitudes separados probablemente no sean independientes.

El tribunal finalmente decidió este caso contra Robinson en un punto legal separado, no sobre si el testamento era una falsificación.

El juicio de Malcolm Collins

Se dice que hay dos tipos de estadísticas: las que buscas y las que inventas. El caso de People v. Collins contiene ejemplos de esto último.

El acusado, Malcolm Ricardo Collins, fue acusado de robo y condenado. La condena fue apelada ante la Corte Suprema de California . La siguiente evidencia fue presentada en el ensayo original.

A una mujer le robaron el bolso. Los testigos no pudieron ver bien la cara del ladrón; sin embargo, los testigos pudieron describir algunas características del ladrón (una mujer blanca con una cola de caballo rubia), el auto de escape (un vehículo amarillo) y el conductor (un hombre negro con barba y bigote). En el juicio, la fiscalía llamó a un instructor de matemáticas para testificar. El instructor explicó la regla del producto para multiplicar las probabilidades de eventos independientes. La fiscalía sugirió las siguientes probabilidades al instructor: hombre negro con barba, 1 de cada 10; hombre con bigote, 1 de cada 4; mujer blanca con cola de caballo, 1 de cada 10; mujer blanca con cabello rubio, 1 de cada 3; automóvil amarillo, 1 de cada 10; y una pareja interracial en auto, 1 de cada 1,000. Le preguntó al instructor cuál sería la probabilidad de que estos eventos ocurrieran simultáneamente, usando estas estimaciones, y el instructor dio la respuesta: 1 en 12,000,000. El fiscal afirmó que estas estimaciones eran conservadoras y que la probabilidad real era más cercana a 1 en mil millones.

El jurado declaró culpable a Collins, pero el fallo de la corte de apelaciones señaló: "Es una circunstancia curiosa de esta aventura como prueba de que el fiscal no solo hizo sus propias afirmaciones de estos factores con la esperanza de que fueran conservadores ... sino que invitó al jurado para sustituir sus estimaciones ". El tribunal continuó:" Hubo otro defecto evidente en la técnica de la fiscalía, a saber, una prueba inadecuada de la independencia estadística de los seis factores ".

Por ejemplo, la probabilidad de que un hombre con barba no sea independiente del hombre que tiene bigote. Además, ¿no se tendría ya en cuenta el hecho de que una pareja interracial estaba en el automóvil, dado que el presunto ladrón era una mujer blanca y se decía que el hombre que conducía el auto de escape era negro? La decisión final de la corte de apelaciones fue: “Las matemáticas, un verdadero hechicero en nuestro mundo computarizado, mientras ayudan al juzgador de hecho en la búsqueda de la verdad, no deben hechizarlo. Revertimos el juicio ".

Desafortunadamente, la explicación de la falta de independencia de la corte de apelaciones en el caso Collins es incorrecta. La corte declara que los eventos "los hombres negros con barba y los hombres con bigote representan categorías superpuestas". Si bien esta afirmación es cierta, no es la razón por la cual los eventos no son independientes. Colin Aitken, en su libro Estadística y evaluación de la evidencia para científicos forenses., da la explicación correcta: “El testimonio estadístico carecía de una base adecuada tanto en evidencia como en teoría estadística. ... La primera razón se refiere a la falta de justificación ofrecida para la elección de los valores de probabilidad y la suposición de que las diversas características eran independientes. Como ejemplo de este último punto, una suposición de independencia supone que la propensión de un hombre a tener bigote no afecta su propensión a tener barba ”.2

El hecho de que los hombres negros con barba y los hombres con bigote sean categorías superpuestas no es la razón por la cual estas categorías no son independientes.

El juicio de Sally Clark

Sally Clark era abogada en Cheshire, Inglaterra.3 Su hijo, Harry, nacido tres semanas antes de tiempo, murió ocho semanas después del nacimiento, y ella fue acusada de su asesinato. Su primer hijo también había muerto, menos de tres semanas después del nacimiento, y aunque su autopsia concluyó que había muerto por causas naturales, Clark también fue acusado de asesinarlo. Fue arrestada y acusada, a pesar de que había poca evidencia en su contra.

En el juicio de Clark, Sir Roy Meadow, pediatra, dio testimonio estadístico. Afirmó que la probabilidad de que un bebé aleatorio muera de muerte súbita (SMSL) si la madre es mayor de 26 años, rica y no fumadora, es de 1 en 8,543, y por lo tanto, la probabilidad de que dos hijos de una familia así tengan una muerte súbita es (1 en 8,543) x (1 en 8,543) = 1 probabilidad en 73 millones. El resumen del juez al jurado incluyó la declaración: "Aunque no condenamos a las personas en estos tribunales por estadísticas ... las estadísticas en este caso son convincentes". Después de su condena, un miembro del jurado dijo: "Lo que usted diga sobre Sally Clark, puede" evite la cifra de 1 en 73 millones ”. La condena de Clark fue confirmada en apelación.

En 2001, la Royal Statistical Society emitió un resumen de noticias condenando el uso de la regla de multiplicación para la independencia en este caso, afirmando que: “Este enfoque es estadísticamente inválido. … La cifra bien publicitada de 1 en 73 millones no tiene base estadística ”. En 2002, Ray Hill, profesor de matemáticas en la Universidad de Salford, analizó otros datos publicados. Llegó a la conclusión de que la probabilidad de que un segundo hijo muera por una muerte en la cuna, dado que el primer hijo tuvo una muerte en la cuna, puede ser tan alta como 1 en 60. En 2003, después de pasar tres años en la cárcel, se confirmó la segunda apelación de Clark, y ella fue liberada de la cárcel. Esto fue solo después de que un nuevo abogado pro bono, mientras revisaba la evidencia, descubriera un informe de patología que revelaba que Harry estaba infectado con Staphylococcus aureus, y que este hecho había sido ocultado a su equipo de defensa.

Sally Clark murió en 2007.

El juicio de Jimmy Ray Bromgard

En 2015, la Oficina Federal de Investigaciones admitió que durante más de 20 años su personal de laboratorio forense había dado un testimonio erróneo en juicios penales que incluían análisis microscópico del cabello.4 En muchos casos, afirmarían que la probabilidad de que un cabello del cuero cabelludo dejado en la escena del crimen coincida al azar con el cabello del acusado fue de 1 en 4.500. Para un vello púbico, la probabilidad era de 1 en 800. Estas probabilidades se derivaron de un estudio defectuoso de Gaudette y Keeping.5 5

En el juicio de 1987 de Jimmy Ray Bromgard, sobre la violación de una niña de ocho años, el experto forense del fiscal testificó que encontró una coincidencia entre el cuero cabelludo del acusado y el vello púbico de la escena del crimen. Sin ofrecer una base, afirmó que la probabilidad de una coincidencia para el cabello del cuero cabelludo era de 1 en 100 y para el vello púbico también era de 1 en 100. Opinaba que, dado que los pelos eran de diferentes partes del cuerpo, estas coincidencias eran independientes. Luego, utilizando la regla de multiplicación para eventos independientes, llegó a la conclusión de que la posibilidad de que el cabello fuera de otra persona que no fuera el acusado era de 1 en 10,000.

Como en otros casos donde la regla de multiplicación fue mal utilizada, el testigo experto multiplicó las probabilidades (para obtener una probabilidad mucho menor) sin presentar ninguna evidencia de que los eventos son independientes. De hecho, el cabello del cuero cabelludo y el vello púbico de una persona tienen similitudes (por ejemplo, color, textura cortical), en cuyo caso una coincidencia en el cabello del cuero cabelludo no sería independiente de una coincidencia en el vello púbico.

Bromgard fue condenado y pasó 14 años en la cárcel hasta que las pruebas de ADN demostraron que no cometió el asalto. Setenta y tres individuos más, condenados principalmente por análisis microscópico del cabello, fueron exonerados por evidencia de ADN, pero solo después de pasar 1.056 años colectivos en la cárcel.

El juicio de Ray Krone

Ray Krone fue condenado por asesinar a un cantinero en 1992. La principal evidencia forense presentada en el juicio fue una marca de mordisco en el cuerpo del cantinero que se suponía que había sido dejado por el asesino. Raymond Rawson, un dentista forense, testificó que la marca de la mordida en el cuerpo no solo coincidía con la dentición de Krone, sino que solo podía provenir de Krone.

Rawson basó su conclusión en un estudio que publicó en 1984, "Evidencia estadística de la individualidad de la dentición humana".6 El estudio afirmó que la dentición humana es única; sin embargo, el estudio tenía varios defectos que hicieron insostenible esta afirmación. Nuestro artículo anterior tiene más detalles, pero el problema básico es el siguiente: Rawson y sus colegas utilizaron impresiones dentales de cera de una muestra de conveniencia de 1,200 sujetos para calcular el número total de posiciones únicas de cada uno de los 12 dientes: seis de la mandíbula superior, seis de la mandíbula inferior Luego calcularon el producto del número de posiciones para los dientes superiores e inferiores, y ambos se unieron, llegando a un número mayor de cuatro mil millones para el número total de posiciones únicas para la dentición humana, que era más que todas las personas en la Tierra En ese tiempo.

Como escribimos en 2016: “[T] su cálculo solo es válido si los datos son independientes. Sin embargo, parecería obvio que la posición de un diente estaría influenciada por las posiciones de los dientes que lo rodean. Por lo tanto, la regla del producto no se aplica para determinar el número total de puestos únicos para denticiones humanas ".

Krone pasó 10 años en la cárcel antes de ser liberado, luego de que pruebas de ADN demostraran que no era el asesino. Al menos otras veintitrés personas, condenadas principalmente por análisis de marcas de mordisco, han sido exoneradas de manera similar.

Resumiendo

En los juicios penales, especialmente aquellos que involucran análisis microscópico del cabello y comparaciones de marcas de mordida en humanos, se presentaron al jurado probabilidades incorrectas. En muchos casos, las probabilidades se multiplicaron juntas independientemente de si los eventos eran independientes.

Con respecto a este problema de falta de independencia, el tribunal de apelaciones en el caso de Malcolm Collins dijo: "Se podría esperar que pocos abogados defensores, y ciertamente pocos miembros del jurado, comprendan este defecto básico en el análisis de la fiscalía". Sin embargo, los estadísticos lo entienden, y la justicia puede estarían mejor atendidos si se les pidiera que revisaran los cálculos antes del juicio.

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Sobre el Autor

H. James (Jim) Norton es profesor emérito de bioestadística, Carolinas HealthCare System, Charlotte, Carolina del Norte. Ha sido testigo experto o consultor en ocho casos legales, incluidos seis que involucraron evidencia forense. Su sitio web es jimnortonphd.com . George Divine es bioestadista de investigación sénior en el Hospital Henry Ford, Detroit, Michigan.