Test de Rachas

Test de Rachas

Este sirve para probar la aleatoriedad de las muestras, a veces al realizar un muestreo, puede llegar a influir el orden temporal o espacial en que las muestras han  sido elegidas, con lo que  estamos en las condiciones de un muestreo aleatorio simple, ya que la ley de probabilidad varia de una obsevacion a otra.

Consideremos un tamaño de muestra n, que ha sido  dividido en dos categorías A y B,  con n1 y n2 obsevaciones, se denomina racha a una sucesion de valores de la misma categoria,  por ejemplo, si estudiamos una poblacion de personas, podemos considerar categorias el sexo

                                              A = Varón       B= Hembra

al seleccionar una muestra aleatoria nos conseguimos las siguientes observaciones



                                                  A A A B B A A A A A B B B B



 observamos cuatro rachas, compuesta por  3 (A A A)

                                                                     2 (B B)

                                                                     5 ( A A A A A)                   n1 = 8

                                                                     4 (B B B B)                         n2 = 6

                                                                                                                 n1 +n2 = 14

En función de las cantidades n1 y n2 se espera que el numero de rachas no sea ni muy pequeño ni muy grande. Si las observaciones son cantidades numéricas estas pueden ser dividías en dos categorías que poseen aproximadamente el mismo tamaño (n1 = n2 +- 1), si consideramos la mediana de las observaciones como el valor que sirve para dividir la muestra.

                                      A = Obsevacion inferior a la mediana

                                      B = Observacion superior a la mediana

Se defina la variable aleatoria R como el numero de rachas. Su distribucion esta tabulada para los casos n1<= 20 y n2 <=20 ( Tabla de Downie) , La aleatoriedad en la extraccion de la muestra se rechaza cuando R<= Rn1,n2a/2

Aproximación normal del test de rachas

Si el tamaño de cualquiera de las dos muestras es mayor que 30, la distribución de R se aproxima a una normal de media

                    2 n1 n2
UR = ------------------- + 1

                     n1 + n2


y Varianza

               2n1n2( 2n1n2-n1- n2)
VR = ------------------------------
            (n1 + n2)^ 2 (n1 +n2 -1)

y se considera el Estadístico

              R -UR
ZR = ---------------- aproximadamente Normal (0;1)
                 VR

Se rechaza la Hipotesis nula de Aleatoriedad si

Elementos de la Teoría Combinatoria

¿Que es un Factorial?

Es la multiplicación de un numero en forma descendente hasta llegar al 1,

 se denota por n!

Ejemplo: 5! = 5*4*3*2*1= 120

Es de resaltar que  1! = 1 y 0! = 1


Ejemplo 2:  5! / 3! = 5*4*3!/3! = 5*4 = 20

Permutaciones:

Las permutaciones son las distintas maneras como pueden ordenarse los diferentes objetos, letras, cosas, etc.
Así, por ejemplo, las permutaciones de dos elementos, a y b, son: ab y ba; las permutaciones de tres elementos  a, b y c, son: abc, acb, bca,bac, cab y cba.



Ejemplo: ¿De cuantas maneras se pueden disponer los jugadores de un equipo de Basketball?

Respuesta: El equipo de basketball se compone de 5 jugadores, luego se pueden disponer de P5 = 1*2*3*4*5 = 120 maneras diferentes

La Formula Básica es Pn, r = n!/(n-r)!

Ejemplo 3: ¿De cuantas maneras diferentes se pueden colocarse 8 libros distintos en un estante?

Respuesta:

n = numero de libros = 8,

 r = maneras diferentes de colocarse = 8

se sustituye ne la formula P8;8 = 8!/(8-8)! = 8!/0! = 8!/1 = 8*7*6*5*4*3*2*1* = 40320

Ejemplo 4: ¿De Cuantas maneras puede ordenar 4 letras (a,b,c y d) de orden 3?

Respuesta:

n = numero de letras las cuales son 4

r= el orden, es decir, de tres letras

                                           abc acb abd adb acd adc
                                           bac bca bad bda bcd bdc
                                           cab cba  cad cda cbd cdb
                                           dab dba dac dca dbc dcb

P4;3 = 4!/(4-3)! = 4!/1! = 4*3*2*1 = 24

Combinaciones:

En las combinaciones, no importa el ordenen que se consideren los elementos, para comprenderlo mejor como se forman las combinaciones, tomemos por ejemplo, cuatro letras a, b , c y d, y escribimos sus combinaciones monarias, binarias y ternarias, entonce resulta:

Las combinaciones monarias son:     a,      b ,    c,      d

para formar las binarias se agrega sucesivamente a cada monaria las letras que le siguen; se obtiene asi:   

                                         ab,  ac,    ad
                                                bc,    bd
                                                         cd
Las combinaciones ternarias se obtienen agregando a cada binaria las letras que le siguen en sucesion, una a una; asi resulta:

                                   abc,   abd,    acd,     bcd


La formula de calculo es:              Cn;r =n!/r!(n-r)!

Ejemplo hallar el numero de combinaciones de 4 letras  de orden 2

Respuesta:

n= numero de letras  es 4

r= el orden el cual es 2

sustituyo en la formula:

                              C4;2 = 4!/2!(4-2)! =  4!/2!*2! = 4*3*2!/2!*2! = 4*3/2! =12/2 = 6