El Poder de la Tecnología en los Modelos Cuantitativos
- Resumen
- Introducción
- Proceso de construcción de modelos
- Tecnología en problemas lineales "El SOLVER"
- Tecnología en problemas complejos
- Los Datos y la Metodología
- Conclusiones
- Bibliografía
El siguiente artículo versa sobre el uso de las
herramientas tecnológicas más poderosas existentes, y su discusión se emplea en
modelos cuantitativos complejos. En este contexto se asume que el lector tiene habilidades y/o conocimientos en dicha
tecnología. Se evalúan dos modelos que tienen un impacto sobre las
sociedades y su entorno, por lo cual en respuesta a la
didáctica educacional se espera que sea de uso para la
gerencia, especialistas en al área de
ciencias administrativa y que finalmente de apoyo a la toma de decisiones.
Palabras Claves:
Tecnología, Solver,
Modelo, Atractor, Caos,
Acciones, Rendimiento, Fractal
Abstract:
The following article turns on the use of one of the existing most powerful tools in the electronic spreadsheets, and its discussion is used in complex quantitative models. In this context it is assumed that the reader has abilities and/or knowledge in these leaves. Two models are evaluated that have an impact on the societies and their surroundings, thus in answer to the educational Didactics it hopes that it is of use for the specialists in a the administrative area and that finally of support to the decision making.
Key words:
Tecnologhy, Solver, Model, Atractor, Chaos, Actions, Yield, Fractal.
En estos tiempos donde se habla de la tecnología,
información,
sociedad de la información y del
conocimiento, etc., aprovecho la oportunidad para plantear una discusión sobre lo poderosa que es la tecnología en los modelos cuantitativos, hoy gracias a ella pueden ser resueltos desde los softwares más complejos hasta los más simples, pero voy a referirme a dos modelos en particular los lineales y los complejos dinámicos no lineales. Es de hacer notar que estos
problemas se presentan en las ciencias administrativas y es requisito indispensable en casi todas las áreas de ciencias sociales,
ingeniería, y en cualquiera de las carreras universitarias como Ciencias
Estadísticas,
Economía,
Administración, entre otras.
Para resolver estos tipos de problemas se construyen modelos para el
análisis y la
toma de decisiones administrativas, los cuales en tiempos remotos se utilizaban
algoritmos muy complejos entre ellos el del
método simplex y el dual, estas
técnicas manualmente son complejas, pero con la tecnología aparecieron softwares para resolver sendos problemas entre ellos se encuentra el más conocido que es el "LINDO", pero hoy tenemos la oportunidad de resolverlos muy fácilmente mediante la hoja de
cálculo de
excel y el paquete agregado llamado "SOLVER", que optimiza los modelos sujetos a restricciones, como los modelos de
programación lineal y no lineales, la cual permite obtener las
soluciones óptimas para un modelo determinado, a su vez, para los problemas complejos dinámicos y no lineales existe otra tecnología de punta para resolverlos, como es el caso de los paquetes estadísticos SAS y SPSS, y que los cuales dependiendo de los niveles de dificultad de la
organización estos aporten información para que se tomen las mejores decisiones para resolver los
conflictos de
una empresa, por lo tanto es de esperar que debe haber una combinación óptima entre la tecnología y los modelos cuantitativos.
Para comenzar debemos plantearnos como es el
proceso de construcción de los modelos, para ello las consideraciones
matemáticas pueden expresarse en términos generales, de la siguiente manera:
Xj = j-ésima variable de decisión
Cj = Coeficiente de ganancia (o
costo) de la j-ésima variable
Z =
Función que debe maximizarse (o minimizarse)
Por lo tanto, para n
variables de decisión, el
objetivo que debe maximizarse o minimizarse se convierte en:
Z = C1X1 + C2X2 + ……..+CjXj + ….. + CnXn
Las restricciones requieren la definición de dos términos generales
aij = Coeficiente de la j-ésima variable en la i-ésima restricción
bi = Limitación de capacidad de la i-ésima restricción
estos es, sujeto a: aij Xij <= bi
y todas las Xij >= 0
Un modelo matemático:
"es un conjunto de
ecuaciones que describen un
sistema o problema. La
descripción de un sistema mediante un modelo hace posible analizar el sistema y ensayar diferentes alternativas sin interrumpir el sistema real"
Tecnología en problemas lineales "El SOLVER"
La tecnología representa
dominio de los conocimientos propios de un
arte u oficio, con ella se espera resolver de una manera fácil y sencillas múltiples problemas, Habermas (1990) para referirse a tecnología plantea lo siguiente: "con la palabra técnica nos referimos, en efecto, en primer lugar un conjunto de
medios que permiten una eficaz realización de fines con un
ahorro de
trabajo, o sea, instrumentos,
máquinas, autómatas.
Pero con esa palabra aludimos también a un sistema de reglas que determinan la
acción racionalmente adecuada, a fines; aludimos, pues, a
estrategias y tecnologías." Un modelo lineal se puede explicar mediante un ejemplo bien sencillo sobre la optimización de un cartera de
inversión, para ello suponga que Andrés Z. Es presidente de una
microempresa de
inversiones que se dedica a administrar las carteras de acciones de varios
clientes.
Un nuevo
cliente ha solicitado que la compañía se haga cargo de administrar para él una cartera de 100.000$. A ese cliente le agradaría restringir la cartera a una mezcla de tres tipos de acciones únicamente, como podemos apreciar en la siguiente tabla.
Al formular un modelo de
Programación Lineal para mostrar cuántas acciones de cada tipo tendría que comprar Andrés se consigue de maximizar el rendimiento anual total estimado de esa cartera.
Acciones
|
Precio ($)
|
Rendimiento Anual Estimado por Acción ($)
|
Inversión Posible ($)
|
| | | |
Navesa
|
60
|
7
|
60.000
|
Telectricidad
|
25
|
3
|
25.000
|
Rampa
|
20
|
3
|
30.000
|
Para solucionar este problema debemos seguir los pasos para la construcción de modelos de programación lineal (PL):
1.- Definir la variable de decisión.
2.- Definir la función objetivo.
3.- Definir las restricciones.
Luego construimos el modelo:
MAX Z = 7X1 + 3X2 + 3X3
S.A.:
60X1 +25X2 + 20X3 <= 100.000
60X1 <= 60.000
25X2 <= 25.000
20X3 <= 30.000
Xi >= 0
A continuación se construye el modelo en una hoja de cálculo de excel de la siguiente manera:
En la fila 2 se coloca la variable de decisión la cual es el número de acciones y sus
valores desde la B2 hasta la D2.
En la fila 3 el rendimiento anual y sus valores desde B3 hasta D3.
En la celda E3 colocaremos una formula la cual nos va indicar el rendimiento anual total, =sumaproducto($B$2:$D$2;B3:D3).
Desde la fila B5 hasta la D8 colocaremos los coeficientes que acompañan a las variables de decisión que componen las restricciones.
Desde la E5 hasta la E8 se encuentra la función de restricción (LI) y no es mas que utilizar la siguiente formula =sumaproducto($B$2:$D$2;B5:D5) la cual se alojaría en la celda E5, luego daríamos un copy hasta la E8.
Desde la F5 hasta F8 se encuentran
los valores de las restricciones.
Desde la G5 hasta G8 se encuentra la holgura o excedente.
Una vez completada la
hoja de cálculo con el modelo respectivo ¡GRABE SU HOJA!, y seleccione "Solver…" en el menú de "Herramientas", ahí tendrá que especificar dentro del cuadro de
dialogo de Solver:
- La celda que va a optimizar
- Las celdas cambiantes
- Las restricciones
Así tendremos la siguiente pantalla:
Como se puede observar en la celda objetivo se coloca la celda que se quiere optimizar, en las celdas cambiantes las variables de decisión y por último se debe de complementar con las restricciones. Una vez realizado estos pasos deben pulsar el icono de "Opciones" y debe hacer clic en "Asumir modelo lineal" y enseguida el botón de "Aceptar". Luego haga clic en el botón de "Resolver" para realizar la optimización, lea detenidamente el mensaje de terminación de Solver y ahí observará si se encontró una solución o hay que modificar el modelo, en caso de haber encontrado una solución óptima usted podrá aceptar o no dicha solución, luego tendrá oportunidad de analizar un
informe de análisis de sensibilidad para luego tomar la mejor decisión.
En nuestro ejemplo el máximo rendimiento anual fue de 12750$, y la cantidad de acciones a comprar serían 750, 1000 y 1500 para Navesa, Telectricidad y Rampa respectivamente.
Como se observa la tecnología logra para problemas básico soluciones muy rápidas para la toma de decisiones
Tecnología en problemas complejos
Igualmente existe tecnología para resolver problemas muy complejo, y tenemos hoy paquetes estadísticos como el SAS y el SPSS, que son muy útiles en muchas áreas como es en el caso de la
teoría del caos, la cual evidentemente que en los últimos años ha obtenido un
desarrollo atómico de las tecnologías emergentes de
computación, gracias a la tecnología, hoy en día puede tomar pocos minutos resolver lo que a personajes como Gauss, Ludwing Philipp, Laplacce,
Newton o Einsten le habrían de tomar toda sus vidas.
Dicha teoría trata de explicar todos aquellos fenómenos que, por su complejidad, resultan ser extremadamente interesantes para las ciencias y el cual su esencia es el orden, Andrés Reyes (2001) plantea que "para detectar si un sistema dinámico es caótico o aleatorio se puede emplear diferentes
métodos entre ellos el basado en el mayor exponente de Lyapunov y el de Rangos Reescalados", para esto se presenta un ejemplo que intenta dilucidar este aspecto.
Suponga que tiene la mayor cantidad de
datos correspondientes a las Tasas de
Interés nominales anuales promedio ponderadas de uno de los
Bancos Comerciales y Universales del país y, utilizando algunas técnicas, demostraremos si el sistema es realmente aleatorio o sigue una búsqueda sesgada al gráficar los datos de la serie y obtener los puntos donde se concentran y comprobar que el atractor es bidimensional, luego calcularemos el exponente de Hurst, el cual tiene el propósito de normalizar las mediciones de la serie a estudiar respecto al
tiempo, este término se conoce como Análisis de Rango Reescalado, pero para calcular el exponente de Hurts debemos asumir que la tasa de interés ofrecida por la institución financiera es:
- una variable aleatoria independiente y
- con igual varianza cada día, entonces podemos escribir la varianza semanal simplemente como la suma de las varianzas diarias, es decir:
2(lu+ma+mi+ju+vi) = 52(lu)
donde, lu,ma…,vi está referido a los días lunes, martes,…viernes y 2 es la varianza diaria. Esto es así dado que asumida
independencia, todas las covarianzas correspondientes serán nulas, y además dado que los rendimientos de las tasas son iguales, podemos factorizar por la varianza del día lunes.
la expresión
matemática para calcular el rango reescalado es la siguiente:
R/S = (aN)H
donde:
R/S = Rango Reescalado
R = máx(XtN) – min(XtN) = Rango entre el
valor máximo y el mínimo.
S = Desviación estándar de las desviaciones.
a = una constante.
N = Número de observaciones.
H = Exponente de Hurst.
Para la estimación econométrica de esta ecuación, solo basta linealizar aplicando logaritmos y proceder al ajuste vía mínimos cuadrados para obtener un
proxy del coeficiente de Hurst (H), que corresponderá a la pendiente de recta estimada. El modelo a estimar es:
LN(R/S) = LN(a) + H*LN(N) +
Donde = los residuos del modelo
Así, de acuerdo a las
investigaciones, existen tres clasificaciones posibles para el exponente de Hurst:
Si H=0,5 entonces la serie es una búsqueda aleatoria en el que una
observación tiene una correlación nula con cualquiera de los instantes anteriores o posteriores.
Sí H > 0,5 entonces la serie es antipersistente, es decir que un período bajo tendrá mayores probabilidades de producir un período alto a continuación, y viceversa, es decir, existirá un porcentaje de
probabilidad de que el segundo evento no sea igual al primero
Si H < 0,5 entonces la serie es persistente que refuerza la tendencia original es decir, existirá mayor probabilidad de que si un período es bajo el siguiente sea bajo, y viceversa.
Los Datos y la Metodología
Usamos la serie de las
tasas de interés de una institución financieras del país para el período 2002 - 2004 (N = 1876 datos para el
banco). El
procedimiento seguido es descrito a continuación:
Paso 1: Se particiona la
muestra total en submuestras de similar tamaño, n =1876/i, donde i=1 (inincialmente trabajamos con la muestra total, es decir, para i=1 tenemos n=N). Para cada partición de tamaño n se cálculo la media y la desviación estándar.
Paso2: Calculamos las diferencias y las diferencias acumuladas de cada observación con respecto a la media del
grupo respectivo. Identificamos la máxima y la mínima diferencia acumulada de cada grupo. La diferencia (resta) de estos valores extremos es llamada el rengo de cada partición.
Paso 3: Dividimos el rango por la desviación estandar para obtener el rango reescalado (R/S) de cada partición. El promedio de tales rangos será el valor de (R/S) a usar, y que junto con el tamaño de las particiones (n), constituye un par de datos para la regresión.
Paso 4: Hacemos i=2 y volvemos al Paso 1. Repetimos este ciclo para i=3,4,6,8,12,18,30,40,54,80 y 160, para obtener 13 pares de datos como los descritos en el paso 3.
Como se observa, el procedimiento es muy complejo y engorroso por lo tanto sí no existiera este tipo de tecnología, pasaríamos horas calculando estos coeficientes y no fuera oportuna la información para la toma de decisiones gerenciales.
Los Resultados son los siguientes
La tabla 1 muestra los resultados obtenidos al utilizar los paquetes estadísticos SAS y SPSSS los cuales realizan el
algoritmo del procedimiento anteriormente descrito de una manera muy rápida.
Tabla 1: Análisis R/S para las Tasas de Interés Diarias
2002 – 2004
Luego se aplica por medio del SAS y/o SSPS una regresión lineal simple para las dos últimas columnas de datos de la tabla anterior. Los resultados se muestran en la tabla 2
Tabla 2: Resultados de Regresión
El resultado de un H=0,367152 explica que la serie es persistente y que refuerza la tendencia original es decir, existirá mayor probabilidad de que si un período es bajo el siguiente sea bajo, y viceversa.
Además se observa que este procedimiento ha servido para ilustrar como se puede reconstruir el espacio de fases de un sistema dinámico y se establece que un determinado objeto de dimensionalidad n conservará sus características inherentes en una dimensión m siempre y cuando m sea mayor a n más uno.
Mediante la técnica de desfasamiento se generarán los datos que permitirá graficar los valores de la serie de las tasas de interés en un plano. Al aumentarle una dimensión a la serie de tiempo observaremos el atractor y analizaremos el agrupamiento de los puntos dentro de los limites.
El exponente de Hurst esta relacionado con dos conceptos que son importantes, los cuales son: la correlación y la dimensión fractal. La correlación según Reyes Polanco (2001) se define como:
C(r) = lim(1/n2){números pares (i,j) tales que la distancia [xi - xj] es menor que r} n ® ¥ y la cual se relaciona con el coeficiente de Hurst con la siguiente ecuación
C(r ) = 2(2H-1) - 1
Sí el valor de H=0.5, se obtiene correlación nula, sí H<0.5 la correlación es negativa y sí H>0.5 la correlación es positiva, siendo perfecta cuando H es igual a la unidad.
La relación entre H y la dimensión fractal esta dad por D = 1/H
En nuestro caso en particular C(r ) = 0,07945 y D=2,7384 este resultado se interpreta de la siguiente manera como ambos resultados son bajos se puede inferir que la serie puede provenir a lo sumo de un sistema caótico, el cual es predecible a muy corto plazo.
Así con estos ejemplos se demuestra que frente a estos cambios tecnológicos, el conocimiento no puede ser pasivo, hay que tratar de hacer ver los aportes que nos da la tecnología, y como plantea Clarke (1990) "que cualquier tecnología suficientemente desarrollada se torna indiscernible de la magia.
Esta apreciación cuadra perfectamente bien con las
actitudes y expectativas, de esa mayoría de personas, los hombres de letras incluidos, que desconocen los
principios en que se funda el funcionamiento de la práctica totalidad de las máquinas, aparatos y
servicios que nos envuelven y controlan en la sociedad tecnológica de nuestros días", y para este autor la tecnología es casi mágica ya que gracias a ella y a su adaptabilidad en la sociedad se convierte en universal y a través del tiempo se convertirá en la forma de vida de los seres humanos y de ahí dependerá la
calidad de vida de cada quién.
De está forma podemos observar la
potencia que tiene la tecnología en los modelos cuantitativos, es muy útil y fácil de manejar, además que nos da la oportunidad de realizar análisis de sensibilidad, esto aunado a que en muchas áreas es de mucha importancia para el
gerente y/o
administrador, como es el caso de los
pronósticos cuantitativos.
Se puede señalar que el uso de la tecnología es hoy de uso común y masivo de la
población, y además nos da la oportunidad de utilizar técnicas y herramientas muy complejas que de manera sencilla nos sirven para resolver problemas lineales y también complejos con la finalidad de
poder tomar decisiones y así disminuir el grado de incertidumbre en cualquier
investigación.
Para el gerente de hoy es necesario conocer las diferentes tecnologías existentes en la sociedad, para poder observar y analizar los diferentes entornos en que vivimos y así poder aportar conocimiento a la sociedad como tal, la cual necesita del aporte de todos para una
educación y un país mejor.
Sametband, José (1995). Entre el orden y el caos: la complejidad. Fondo de
Cultura Económica.
México.
Eppen, M. (2000). Investigación de
Operaciones en las Ciencias Administrativas. Prentice Hall.
Reyes P, A.E. (1996). Predicción y Caos. Temas de Fronteras en el Campo de la Gerencia. Cuadernos de postgrado No. 11, pp.143-155.
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Pindyck, Robert. (1998) Econometría. Modelos y Pronósticos. Mc Graw Hill.
Fredy A. Zavarce C.
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