Determinación del tamaño de muestra para estimar medias poblacionales

La pregunta es: ¿que tan grande debemos seleccionar el tamaño de muestra para una investigación o un experimento?

"Esto es importante y no debe de tratarse con ligereza", porque tomar una muestra más grande  de lo necesario para alcanzar los resultados deseados, es un desperdicio de los recursos, tanto en costo y tiempo de la investigación, y si tenemos muestras pequeñas con frecuencia conducen a resultados sin uso práctico. Entonces, el tamaño de la muestra depende de la Desviación Estándar de la Población, el Grado de Confiabilidad o Nivel de Significación y el Error Estándar o Deseado
La fórmula para el cálculo de la muestra es:



                                                                       no
                                                                     n =     ---------            (1)
                                                                   1  +  no
                                                                                                                 N

donde:

                                                      2           2
                                               Z    S 
                                   no = ----------------                           (2)
                                                     2
                                               e 

Z= Nivel de significación

S= Desviación estándar

e= Error de medición estándar

El tamaño de la muestra requiere que se conozca la desviación estándar, pero generalmente se desconoce. Como resultado, tiene que estimarse. Las fuentes de estimaciones que se usan con mas frecuencia son las siguientes:

1.- Puede extraerse una muestra piloto o preliminar de la población y puede usarse la varianza calculada a partir de esta muestra como una estimación de    .

2.- Puede obtenerse con estimaciones obtenidas de estudios anteriores.

3.- Si se tiene la sensación de que la población de la cual se va a extraer la muestra está distribuida aproximadamente en forma normal, puede usarse el hecho de que el recorrido es aproximadamente igual a seis desviaciones estándar y calcular S=R/6. Este método requiere de cierto conocimiento del valor máximo y mínimo de la variable a estudiar de la población.

Ejemplo 1.

Mi amiga Veruska, nutrióloga  de salud de un Hospital de la Ciudad de Caracas, desea conducir una investigación entre una población de muchachas adolescentes, con el fin de determinar su ingestión diaria promedio de proteínas, está buscando el consejo de un estadístico, relativo al tamaño e muestra que debe tomar.

¿qué procedimiento sigue el estadístico para proporcionar asistencia a la nutrióloga ?

Antes que el estadístico pueda ayudar a Veruska,  ésta debe dar tres detalles de información:

a.- el ancho deseado del intervalo de confianza,

b.- el nivel de confianza deseado, y

c.- la magnitud de la varianza de la población.

Supongamos que a la nutrióloga le gustaría un intervalo de 10 unidades de ancho, es decir, le gustaría que su estimación de error deseado estuviera dentro de cinco unidades aproximadamente de la verdadera, en cualquier dirección. Supongamos también que se decide por nivel de confianza del 95% y que, de su experiencia pasada, la nutrióloga siente que la desviación estándar de la población es probablemente alrededor de 20 gramos. Ahora el estadístico tiene la información necesaria para calcular el tamaño de muestra.

Datos:

Nivel de confianza de  95% , quiere decir,  que este dato lo llevamos a la tabla de la curva de la normal y equivale a Z = 1,96

Error estándar = 5, ya que ella quiere que su intervalo de confianza sea + o - igual a 5 del promedio aritmético.

Y la Desviación estándar  o variabilidad de sus datos es de 20 gramos.

Supongamos que la población de interés es grande de modo que el estadístico puede ignora la corrección por población finita y usa a la formula (2).

Haciendo las sustituciones apropiadas se encuentra que el valor n es:

n = [ (1,96x1,96)x(20x20)]/(5x5)  = 61,44

se le recomienda  que se tome una muestra de 61 personas.

Determinar el tamaño de muestra para estimar proporciones

Este método es esencialmente igual al que se describió anteriormente, suponiendo que el muestreo garantice la normalidad aproximada de la distribución P, se llega a la a la siguiente fórmula es decir
                           2     
 cambiar    S  por PxQ

donde P es la proporción en la población que posee la característica de interés, y obviamente es el parámetro que se esta tratando de estimar , veamos un ejemplo

Ejemplo 2

Se está planeando una encuesta con el fin de determinar qué proporción de familias en cierta área son medicamente indigentes. Se tiene la impresión de que la proporción no puede ser mayor que 35%. Se desea un intervalo de confianza del 95% con un error del 5 %. ¿Qué tamaño de muestra de familias debe seleccionarse?



                                                      2           
                                               Z    PxQ 
                                   no = ----------------                       
                                                     2
                                               e 


Sustituimos


                                                      2           
                                            1,96x.(0,35)x(0,65) 
                                   n = --------------------------------------------    = 349,6                   
                                                                   2
                                               (0,05)

Entonces el tamaño de muestra es de 350.